| Угол | |
| Радиус | |
| Хорда | |
| Длина дуги | |
| Площадь сектора | |
| Высота от хорды |
Онлайн-калькулятор начертит геометрию дуги окружности и рассчитывает её параметры по заданному углу, радиусу или длине хорды. Это удобно при проектировании арок, круглых окон, мостов, теплиц, зубчатых колёс, а также в архитектуре и машиностроении.
Программа позволяет изменять значения угла, радиуса, хорды, автоматически пересчитывая все остальные параметры: длину дуги, площадь сегмента и высоту от хорды до дуги. Изменения моментально отображаются на графике, а также в числовой таблице.
Что можно рассчитать:
- Длину дуги по радиусу и углу.
- Хорду по радиусу и углу.
- Угол по длине хорды и радиусу.
- Площадь сегмента (вытянутой области под дугой).
- Высоту от хорды до дуги (стрелу подъёма).
Формулы расчёта
1. Длина дуги:
$$
L = r \cdot \theta
$$
2. Хорда:
$$
c = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
$$
3. Площадь сегмента:
$$
S = \frac{1}{2} r^2 (\theta — \sin\theta)
$$
4. Высота от хорды до дуги:
$$
h = r \left(1 — \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)
$$
Где:
- \( r \) — радиус окружности
- \( \theta \) — центральный угол (в радианах)
- \( L \) — длина дуги
- \( c \) — длина хорды
- \( S \) — площадь сегмента
- \( h \) — высота от хорды до вершины дуги
Пример расчёта
Пусть \( r = 5 \, \text{м} \), угол \( \theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \, \text{рад} \). Тогда:
Длина дуги:
$$
L = 5 \cdot \frac{\pi}{2} \approx 7.85 \, \text{м}
$$
Хорда:
$$
c = 2 \cdot 5 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 7.07 \, \text{м}
$$
Площадь сегмента:
$$
S = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \left(\frac{\pi}{2} — \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \approx 4.34 \, \text{м}^2
$$
Высота:
$$
h = 5 \left(1 — \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \approx 1.46 \, \text{м}
$$
Пояснение:
- При увеличении угла при фиксированном радиусе дуга становится длиннее, хорда — ближе к диаметру.
- При фиксированной хорде и уменьшении радиуса угол увеличивается.
- Высота от хорды до дуги — ключевая величина в строительстве арок и сводов.
Применение калькулятора
- Проектирование арочных конструкций, мостов, тоннелей, витражей.
- Планирование резки и гибки материалов (металлы, дерево, пластик).
- Расчёты в машиностроении: колёса, шестерни, подшипники.
- Образовательные цели: геометрия, тригонометрия, архитектура.
Связь между параметрами
| Параметр | Обозн. | Формула | Влияет на |
|---|---|---|---|
| Длина дуги | \( L \) | \( L = r\theta \) | Прямо пропорциональна \( r \) и \( \theta \) |
| Хорда | \( c \) | \( c = 2r\sin(\theta/2) \) | Увеличивается с ростом угла |
| Площадь сегмента | \( S \) | \( S = \frac{1}{2} r^2(\theta — \sin\theta) \) | Растёт с увеличением угла |
| Высота дуги | \( h \) | \( h = r(1 — \cos(\theta/2)) \) | Стремится к \( r \) при \( \theta \to 180^\circ \) |
Важно: Все расчёты предполагают, что угол задан в радианах. Для преобразования градусов:
$$
\theta = \frac{\pi \cdot \alpha}{180}
$$
где \( \alpha \) — угол в градусах.
Особенно важно понимать зависимость высоты от радиуса и угла, так как она определяет выпуклость или «плоскость» дуги — а значит, её посадку в сборке или примыкающих деталях. Правильное понимание построения позволяет визуально интерпретировать математическую модель и использовать её не только в инженерных, но и в дизайнерских и строительных задачах, где необходима точная подгонка и резка.
