| Параметр | Значение |
|---|
Интерактивный калькулятор вычисляет вероятность различных событий по заданным параметрам и выбранному режиму — от простых независимых событий до сложных распределений, проверок гипотез и моделирования Монте-Карло. Калькулятор предназначен для анализа, обучения и практического применения в области статистики, инженерии, финансов и науки о данных.
📘 Методика и используемые формулы
1. Базовые вероятности событий
Для двух событий A и B:
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B)
$$
$$
P(A \cap B) = P(A)\,P(B) \quad \text{если независимы}
$$
Условная вероятность:
$$
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$
2. Дискретные распределения
Биномиальное распределение (n испытаний, вероятность успеха p):
$$
P(X=k)=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\,p^k(1-p)^{\,n-k}
$$
Среднее: \(E[X]=np\), дисперсия: \(D[X]=np(1-p)\).
Распределение Пуассона (редкие события, λ — интенсивность):
$$
P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
$$
Среднее и дисперсия: \(E[X]=D[X]=\lambda\).
3. Непрерывные распределения
Нормальное распределение:
$$
f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
Вероятность в интервале \([a,b]\):
$$
P(a < X < b) =
$$
$$
= \Phi\left(\frac{b — \mu}{\sigma}\right) — \Phi\left(\frac{a — \mu}{\sigma}\right)
$$
Экспоненциальное распределение:
$$
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, \quad P(X>x_0)=e^{-\lambda x_0}
$$
4. Теорема Байеса
$$
P(H_i|A)=\frac{P(A|H_i)P(H_i)}{\sum_j P(A|H_j)P(H_j)}
$$
Применяется для обновления вероятностей при появлении новой информации.
5. Комбинаторика
| Тип | Формула |
|---|---|
| Размещения без повторений | \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\) |
| Размещения с повторениями | \(n^k\) |
| Сочетания без повторений | \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) |
| Сочетания с повторениями | \(C_{n+k-1}^k\) |
6. Проверка гипотез
Z-критерий:
$$
Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
$$
T-критерий (неизвестна σ):
$$
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}
$$
Проверка на уровне значимости α: сравнение с критическим значением или p-value.
7. Монте-Карло моделирование
Метод Монте-Карло использует многократное случайное моделирование (например, тысячи генераций случайных величин) для оценки вероятностей, ожиданий, доверительных интервалов и сложных систем, где аналитическое решение затруднено.
8. Совместные распределения
Ковариация:
$$
\mathrm{cov}(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]
$$
Корреляция:
$$
\rho_{XY}=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}
$$
Если \(\rho=0\), случайные величины некоррелированы, но не обязательно независимы.
9. Хвостовые вероятности и редкие события
Для распределения Пуассона:
$$
P(X \ge k) = 1 — \sum_{i=0}^{k-1} \frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!}
$$
При больших λ можно применять приближения Чебышёва, Чернова или нормальные аппроксимации.
10. Цепи Маркова
Для матрицы переходов \(P\):
$$
\pi = \pi P, \quad \sum_i \pi_i = 1
$$
где \(\pi\) — стационарное распределение вероятностей состояний.
⚙️ Что показывает калькулятор
- Вероятность или значение функции распределения по выбранной модели.
- Основные статистические показатели: среднее, дисперсия, σ, доверительные интервалы.
- Результаты проверки гипотез (p-value, z/t, доверие).
- Для Монте-Карло — численные оценки и визуализация распределений.
- Для цепей Маркова — стационарные вероятности состояний.
🧮 Пример расчёта
Пример биномиальное распределение: \(n=10\), \(p=0.3\), найти \(P(X=4)\):
$$
P(X=4)=\frac{10!}{4!\,6!}\,0.3^4(0.7)^6=0.2001
$$
Среднее: \(E[X]=3.0\), дисперсия: \(2.1\).
🔧 Практические рекомендации
- При вводе значений соблюдайте диапазон: вероятности 0–1, количество испытаний — целое.
- Для малых вероятностей и больших n используйте приближения Пуассона или нормальные аппроксимации.
- При моделировании Монте-Карло выбирайте достаточное число итераций (обычно ≥10⁴).
- Для гипотез используйте соответствие выборочного объёма и типа критерия (z или t).
- Интерпретируйте результаты как вероятностные оценки, а не как детерминированные значения.
👉 Калькулятор предоставляет приближённые оценки для анализа и обучения. Реальные статистические выводы требуют проверки предположений модели, достоверности выборки и корректности исходных данных.
