Этот калькулятор позволяет ввести напряжения и токи для двух режимов измерения (I₂ = 0 и I₁ = 0) и получить все четыре Z-параметра, включая визуальное сравнение и автоматическое определение симметричности цепи. Z-параметры (как их ещё называют — импедансные параметры) — это способ описания линейных двухпортовых электрических цепей в терминах напряжений и токов. Они особенно полезны при работе с каскадными соединениями и при анализе высокочастотных цепей.
Расчёт четырёхполюсника
Для двухпортовой схемы с входным током \( I_1 \), выходным током \( I_2 \), входным напряжением \( U_1 \) и выходным напряжением \( U_2 \), Z-параметры определяются следующими уравнениями:
$$
\begin{aligned}
U_1 &= Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2 \\
U_2 &= Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2
\end{aligned}
$$
Для определения каждого параметра требуется выполнение условия обнуления одного из токов:
- \( Z_{11} = \frac{U_1}{I_1} \) при \( I_2 = 0 \) — входное сопротивление
- \( Z_{21} = \frac{U_2}{I_1} \) при \( I_2 = 0 \) — передаточное сопротивление (вперед)
- \( Z_{12} = \frac{U_1′}{I_2} \) при \( I_1 = 0 \) — передаточное сопротивление (обратный)
- \( Z_{22} = \frac{U_2′}{I_2} \) при \( I_1 = 0 \) — выходное сопротивление
Если выполнено условие симметрии \( Z_{12} \approx Z_{21} \), то цепь считается симметричной. Такие цепи часто применяются в симметричных линиях передачи, фильтрах и усилителях.
Пример расчёта Z-параметров
Исходные данные (условие 1: \( I_2 = 0 \)):
- Входное напряжение: \( V_1 = 12 \, \text{В} \)
- Выходное напряжение: \( V_2 = 4 \, \text{В} \)
- Входной ток: \( I_1 = 0.06 \, \text{А} \)
- Выходной ток: \( I_2 = 0 \, \text{А} \)
По определению Z-параметров:
$$
Z_{11} = \left. \frac{V_1}{I_1} \right|_{I_2=0} = \frac{12}{0.06} = 200 \, \Omega
$$
$$
Z_{21} = \left. \frac{V_2}{I_1} \right|_{I_2=0} = \frac{4}{0.06} \approx 66.67 \, \Omega
$$
Исходные данные (условие 2: \( I_1 = 0 \)):
- Входное напряжение: \( V_1 = 5 \, \text{В} \)
- Выходное напряжение: \( V_2 = 7 \, \text{В} \)
- Входной ток: \( I_1 = 0 \, \text{А} \)
- Выходной ток: \( I_2 = 0.02 \, \text{А} \)
$$
Z_{12} = \left. \frac{V_1}{I_2} \right|_{I_1=0} = \frac{5}{0.02} = 250 \, \Omega
$$
$$
Z_{22} = \left. \frac{V_2}{I_2} \right|_{I_1=0} = \frac{7}{0.02} = 350 \, \Omega
$$
Результаты:
- \( Z_{11} = 200 \, \Omega \),
- \( Z_{12} = 250 \, \Omega \),
- \( Z_{21} \approx 66.67 \, \Omega \),
- \( Z_{22} = 350 \, \Omega \)
Справочные таблицы
| Тип цепи | Z₁₁ | Z₂₁ | Z₁₂ | Z₂₂ | Комментарий |
|---|---|---|---|---|---|
| Усилитель с низким входным и высоким выходным сопротивлением | ~100 Ом | ~1–10 кОм | Низкий | ~10 кОм | Классический усилитель напряжения |
| Фильтр НЧ | Слабозависим от частоты | Уменьшается с частотой | Уменьшается с частотой | Сильнорастущий | Зависимость от частоты ключевая |
| Согласующая цепь | ~Rист | Сопоставим с Zнагрузки | Симметричен Z21 | ~Rнагрузки | Часто симметрична |
| Идеальный трансформатор | Зависит от передаточного числа | Пропорционален Zнагрузки | = Z21 | Пропорционален Zнагрузки | Z12 = Z21 |
| Тип цепи | Z₁₁ | Z₁₂ | Z₂₁ | Z₂₂ | Комментарии |
|---|---|---|---|---|---|
| Два резистора по входу и выходу | R₁ | 0 | 0 | R₂ | Никакой связи между портами |
| T-образная RC-цепь | R + 1/(jωC) | 1/(jωC) | 1/(jωC) | R + 1/(jωC) | Симметричная фильтрующая структура |
| π-фильтр LC | Z₀(1 + s²L₁C₁) | Z₀s²L₁C₁ | Z₀s²L₁C₁ | Z₀(1 + s²L₁C₁) | Типичная схема фильтрации высоких частот |
| Идеальный трансформатор | jωL | ±jωM | ±jωM | jωL | Симметрия, взаимная индукция |
| Линия передачи (короткая) | Z₀ | ≈0 | ≈0 | Z₀ | Зависит от длины и частоты |
Z-параметры широко применяются при анализе и моделировании линейных цепей, особенно в ВЧ-технике и системах с направленным распространением сигналов. Их удобство заключается в том, что они описывают поведение двухпортов при заданных токах и напряжениях, сохраняя линейность и возможность каскадного соединения. Важным свойством матрицы Z является симметрия в пассивных и взаимных цепях, особенно при наличии трансформаторов и взаимной индукции. Это упрощает моделирование и позволяет сократить объём измерений.
Также стоит учитывать, что частотная зависимость параметров может вносить значительные коррективы: емкости и индуктивности при высоких частотах формируют реактивные составляющие, влияя на фазовые сдвиги и волновое сопротивление.
Понимание характера каждого элемента матрицы даёт возможность не только анализировать цепи, но и проектировать согласующие устройства, фильтры и усилительные каскады, точно зная, как сигнал будет передаваться и трансформироваться в каждом направлении.
