Законы Кирхгофа

Изучение электрических цепей невозможно без понимания основных принципов, на которых основано распределение токов и напряжений. И важнейшими тут выступают законы Кирхгофа. Они позволяют определить, как электрические величины взаимосвязаны в различных участках схем, обеспечивая возможность расчёта сложных сетей с несколькими источниками и нагрузками.

Первый и второй законы Кирхгофа лежат в основе большинства методов анализа цепей. Эти законы применимы как в простых, так и в разветвлённых схемах, помогая инженерам, студентам и радиолюбителям точно определять значения токов и напряжений в любой точке схемы. Применение этих правил особенно актуально при проектировании и диагностике электрических устройств.

В этом материале рассматриваются формулировки этих законов, поясняются условия их применения и приводятся основные формулы для расчёта с практическими примерами.

Основные законы Кирхгофа

Всего имеется два основных закона:

1. Первый закон Кирхгофа — закон узлов (закон сохранения тока). Он гласит, что алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю. Это означает, что сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из него.
2. Второй закон Кирхгофа — закон контуров (закон сохранения энергии). Он утверждает, что алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре цепи равна нулю. То есть сумма всех падений напряжения на элементах контура равна сумме ЭДС в этом контуре.

Они охватывают все основные случаи, встречающиеся при анализе линейных электроцепей. Возможно выглядит всё это немного запутанно, поэтому потратьте ещё 5 минут на изучение более подробного описания, и тема станет полностью понятна.

Схема делителя напряжения

Рассмотрим простую схему с последовательным соединением резисторов, чтобы проанализировать, как распределяется напряжение между ними.

Если известны значения сопротивлений, можно определить общее сопротивление, так как в последовательной цепи они просто складываются. После этого, используя закон Ома I = E / R, легко найти ток. В последовательной электроток одинаков во всех элементах, поэтому это значение будет справедливо для каждого резистора.

	R1	R2	R3	Всего
E	10	20	15	45 Вольт
I	2 мА	2 мА	2 мА	2 мА
R	5 кОм	10 кОм	7,5 кОм	22,5 кОм

Зная ток и индивидуальные сопротивления, можно рассчитать вольтаж на каждом элементе с помощью той же формулы E = IR. Напряжение, падающее на каждом резисторе, прямо пропорционально его сопротивлению. Например, если сопротивление второго резистора в 2 раза больше первого, то и падение на нём будет в 2 раза больше.

	R1	R2	R3	Всего
E	40	80	60	180 Вольт
I	8 мА	8 мА	8 мА	8 мА
R	5 кОм	10 кОм	7,5 кОм	22,5 кОм

Изменение вольт источника не влияет на соотношение напряжений между резисторами — это соотношение остаётся постоянным, так как зависит только от сопротивлений. Таким образом, делитель разделяет общее напряжение на части, пропорциональные сопротивлениям.

Падение напряжения на любом резисторе: \( E_n = I_n R_n \)

Ток в последовательной цепи: \( I_{\text{total}} = \frac{E_{\text{total}}}{R_{\text{total}}} \)

Подставляя \( \frac{E_{\text{total}}}{R_{\text{total}}} \) вместо \( I_n \) в первое уравнение:

Падение на любом резисторе в такой цепи: \( E_n = \frac{E_{\text{total}}}{R_{\text{total}}} \cdot R_n \) или \( E_n = E_{\text{total}} \cdot \frac{R_n}{R_{\text{total}}} \)

Итого, универсальная формула для расчёта вольтажа на любом из резисторов последовательной цепи:

$$
E_x = E \cdot \frac{R_x}{R_{\text{total}}}
$$

Это упрощённый способ определения E, не требующий предварительного расчёта электротока. Такая формула особенно полезна при анализе или проектировании схем.

Делители широко используются в измерительных устройствах, где требуется точное масштабирование значения. Часто их строят с использованием фиксированных резисторов или потенциометров — резисторов с регулируемым сопротивлением.

Потенциометр как делитель напряжения

Потенциометр — это переменный резистор с подвижным контактом (движком), позволяющий изменять отношение между сопротивлениями в его частях. Подключая его к источнику напряжения, можно снимать выходное между движком и одной из крайних клемм. Это выходное напряжение будет зависеть только от положения движка, а не от величины входного.

Когда движок находится в середине, вольтаж между ним и любой из внешних клемм составляет ровно половину входного. Это делает потенциометр удобным средством получения регулируемого напряжения от фиксированного источника, например, батареи.

Потенциометр можно использовать как элемент управления в электронной схеме, позволяя точно задать нужное напряжение. Благодаря этому он широко используется в устройствах регулировки громкости, настройки чувствительности, управления яркостью и других аналогичных приложениях.

Закон напряжений Кирхгофа

Давайте еще раз рассмотрим пример последовательной цепи, при этом пронумеруем точки для получения опорного напряжения:

Предположим, что подключили вольтметр между точками 2 и 1, при этом красный щуп подключен к точке 2, а черный — к точке 1. В таком случае, вольтметр зафиксирует показание +45 вольт. Важно отметить, что обычно знак «+» не отображается на экранах цифровых измерителей, а подразумевается для положительных значений. Но сейчас полярность показаний имеет ключевое значение, поэтому буду показывать положительные значения.

Если напряжение указано с двойным нижним индексом, как в обозначении «E 2-1», это значит, что оно в точке 2 измеряется относительно точки 1. Напряжение, указанное как «E cg», означает то, которое фиксируется цифровым измерителем, если красный щуп находится в точке «c», а черный — в точке «g», то есть между точками «c» и «g».

Предположим, что снова используем вольтметр для измерения падения напряжения на каждом резисторе, двигаясь по схеме по часовой стрелке, при этом красный щуп находится впереди, а черный — позади. В таком случае, мы получим следующие показания:

В последовательных цепях падения складываются и равняются общему приложенному вольтажу. Но если измеряем падения напряжений таким способом и обращаем внимание на полярность (знаки) показаний, то обнаруживаем, что все они в сумме дают ноль:

• E₂₋₁ = +45 В от точки 2 к точке 1
• E₃₋₂ = -10 В от точки 3 к точке 2
• E₄₋₃ = -20 В от точки 4 к точке 3
• + E₁₋₄ = -15 В от точки 1 к точке 4
• Итого 0 В

Этот принцип называется законом напряжений Кирхгофа, который был открыт немецким физиком Густавом Р. Кирхгофом в 1847 году. Он формулируется следующим образом:

⚖ Алгебраическая сумма всех напряжений в замкнутом контуре должна быть равна нулю.

Алгебраической называем сумму, в которой учитываются знаки (полярности) напряжений. Под контуром подразумеваем путь, который начинается и заканчивается в одной и той же точке цепи, проходя через другие точки этой цепи. В данном примере контур составляют точки 1-2-3-4-1. Не имеет значения, с какой точки начинаем и в каком направлении двигаемся по контуру, сумма в итоге всегда будет равна нулю. Всё станет более наглядным, если перерисуем последовательную цепь так, чтобы все компоненты располагались на одной прямой линии:

Это та же самая цепь, но с другим расположением компонентов. Обратите внимание на полярности падений напряжений: вольтаж батареи отрицателен слева и положителен справа, тогда как напряжения на резисторах ориентированы в противоположную сторону: положительное слева и отрицательное справа. Это объясняется тем, что резисторы сопротивляются потоку электронов, который обеспечивается батареей. Проще говоря, сопротивление, оказываемое резисторами, направлено против потока электронов, создаваемого источником питания.

Давайте посмотрим, какие показания зафиксирует цифровой вольтметр на каждом из компонентов схемы, если красный провод подключен к правой стороне, а черный — к левой:

Если будем измерять вольты на разных комбинациях компонентов, начиная с резистора R1 и двигаясь по цепи, то увидим, как напряжения складываются алгебраически, в сумме давая ноль:

Хотя принцип сложения напряжений в последовательных цепях не вызывает сомнений, важно отметить, как их полярность влияет на сложение. Если измерим вольтаж на R1, R1 -R2 и R1 -R2 -R3 (где символ «-» обозначает последовательное соединение резисторов R1, R2 и R3), то заметим как он на каждом из резисторов становятся всё более отрицательными, поскольку полярности падений напряжений одинаковы (положительное слева, отрицательное справа). Сумма их на R1, R2 и R3 составляет 45 вольт, что совпадает со значением батареи, за исключением того, что полярности напряжений на резисторах противоположны полярности батареи (отрицательное слева, положительное справа). В результате получаем ноль вольт по всей схеме.

👉 Понимание того, что сумма напряжений в цепи должна быть равна нулю, не вызывает сомнений, если посмотреть на схему: левая сторона (точка 2 на выходе R1) соединена с правой стороной батареи (точка 2), что необходимо для замыкания цепи. Поскольку эти две точки электрически общие, напряжение между ними будет равно нулю.

Закон Кирхгофа справедлив не только для простых последовательных цепей, но и для любых других конфигураций. Например, для параллельной:

В параллельной линии вольтаж на каждом резисторе равен значению источника, в данном случае 6 вольт. Если подсчитаем напряжения по контуру 2-3-4-5-6-7-2, то получим:

• E₃₋₂ = 0 В от точки 3 к точке 2
• E₄₋₃ = 0 В от точки 4 к точке 3
• E₅₋₄ = -6 В от точки 5 к точке 4
• E₆₋₅ = 0 В от точки 6 к точке 5
• E₇₋₆ = 0 В от точки 7 к точке 6
• + E₂₋₇ = +6 В от точки 2 к точке 7
• Итого E₂₋₂ = 0 В

Обратите внимание, что сумма их будет равна нулю, так как тут вернулись в начальную точку. Закон напряжений Кирхгофа действует для любой конфигурации цепи, и даже если компоненты скрыты, например, в залитом смолой модуле, он всё равно будет работать:

Попробуйте пройти любой путь по схеме, начиная от любого из контактов, и всегда увидите, что сумма напряжений равна нулю. Также важно отметить, что «петля», которую отслеживаем, не обязана быть физическим путем тока. Главное — это начать и закончить в одной и той же точке, учитывая все падения напряжений и полярности.

Пример в сложной схеме

Закон Кирхгофа можно использовать для нахождения неизвестного напряжения в сложных схемах, где известны все остальные. Например, рассмотрим сложную цепь, состоящую из двух последовательных, соединенных проводом. Составим уравнение для определения вольтажа между точками 4 и 3:

Шагая по контуру 3-4-9-8-3, записываем падения напряжений, как их зафиксировал бы вольтметр. Напряжение между точками 9 и 4 будет равно +12 вольт, между точками 3 и 8 — +20 вольт, а между точками 8 и 9 — ноль.

• E₃₋₂ = 0
• E₄₋₃ = 0
• E₅₋₄ = 0
• Итого E₂₋₂ = 0 В

Окончательное значение между точками 4 и 3 составит -32 вольта, что указывает на то, что точка 3 положительна относительно точки 4.

Важно отметить, что выбор ориентации щупов при составлении уравнения не влияет на конечный результат. В обоих случаях приходим к правильной оценке напряжения между двумя точками.

Схема делителя тока

Рассмотрим простую параллельную цепь и определим токи в ее ветвях через соответствующие резисторы:

Так как напряжение на всех компонентах параллельной цепи одинаково, можем указать на верхней строке таблицы значение 6 вольт.

Используя закон Ома I = E/R, вычислим значение в каждой ветви. Зная, что токи в параллельных цепях суммируются для получения общего, можем найти общий, сложив электротоки в каждой ветви: 6 мА, 2 мА и 3 мА.

	R1	R2	R3	Всего
E	6	6	6	6 Вольт
I	6 мА	2 мА	3 мА	11 мА
R	1 кОм	3 кОм	3 кОм	545 Ом

На последнем этапе нужно вычислить общее сопротивление. Это можно сделать либо с использованием закона Ома R = E/I, либо применив формулу для параллельного сопротивления из индивидуальных сопротивлений. В обоих случаях результат будет одинаковым.

👉 Очевидно, что ток через каждый резистор связан с его сопротивлением. Напряжение на всех резисторах одинаково, но зависимость между током и сопротивлением обратно пропорциональна: например, I через R1 в два раза больше, чем через R3, так как сопротивление R3 в два раза больше, чем R1.

Если вольтаж источника изменится, эти пропорциональные отношения останутся неизменными:

	R1	R2	R3	Всего
E	24	24	24	24 Вольт
I	24 мА	8 мА	12 мА	44 мА
R	1 кОм	3 кОм	2 кОм	545 Ом

Ток через R1 будет по-прежнему в два раза больше чем через R3, несмотря на изменение напряжения. Пропорциональность токов ветвей строго зависит от сопротивлений.

Также стоит отметить, что в параллельной цепи электротоки ветвей представляют собой фиксированные пропорции от общего. Даже при увеличении питания, соотношение тока в ветви и общего останется неизменным:

$$
\frac{I_{R1}}{I_{\text{общ}}} = \frac{6\,\text{мА}}{11\,\text{мА}} = \frac{24\,\text{мА}}{44\,\text{мА}} = 0{,}54545
$$

$$
\frac{I_{R2}}{I_{\text{общ}}} = \frac{2\,\text{мА}}{11\,\text{мА}} = \frac{8\,\text{мА}}{44\,\text{мА}} = 0{,}18182
$$

$$
\frac{I_{R3}}{I_{\text{общ}}} = \frac{3\,\text{мА}}{11\,\text{мА}} = \frac{12\,\text{мА}}{44\,\text{мА}} = 0{,}27273
$$

Поэтому параллельную цепь часто называют делителем тока, так как она «делит» общий на части, пропорциональные сопротивлениям ветвей. Можно вывести формулу для расчета электротока в параллельном резисторе, зная общий ток, индивидуальное и общее сопротивление:

$$
\frac{R_{\text{Total}}}{R_n} = \frac{I_{\text{n}}}{I_{\text{Total}}}
$$

Это уравнение известно как формула делителя тока, и оно служит для вычисления ампер в ветви параллельной цепи, когда известен общий ток. Применяя эту формулу на основе исходной параллельной схемы, можно пересчитать электротоки в ветвях, имея в распоряжении общий ток и общее сопротивление:

Ток через любой резистор: \( I_n = \frac{E_n}{R_n} \)

Напряжение в параллельной цепи: \( E_{\text{total}} = E_n = I_{\text{total}} R_{\text{total}} \)

Подставляя \( I_{\text{total}} R_{\text{total}} \) вместо \( E_n \) в первое уравнение получим ток через любой параллельный резистор: \( I_n = \frac{I_{\text{total}} R_{\text{total}}}{R_n} \) или \( I_n = I_{\text{total}} \frac{R_{\text{total}}}{R_n} \)

• \( I_{R1} = 11 \, \text{мА} \cdot \frac{545.45 \, \Omega}{1 \, \text{к}\Omega} = 6 \, \text{мА} \)
• \( I_{R2} = 11 \, \text{мА} \cdot \frac{545.45 \, \Omega}{3 \, \text{к}\Omega} = 2 \, \text{мА} \)
• \( I_{R3} = 11 \, \text{мА} \cdot \frac{545.45 \, \Omega}{2 \, \text{к}\Omega} = 3 \, \text{мА} \)

Если сравним две формулы делителей, то заметите их сходство. Но важно обратить внимание, что в формуле делителя напряжения отношение выражается как \( \frac{R_n}{R_{\text{Total}}} \), а в формуле делителя электротока — как \( \frac{R_{\text{Total}}}{R_n} \).

Это различие важно, так как в обоих случаях дробь должна быть меньше единицы. В конце концов, речь идет о делителе, а не о множителе! Если дробь перевернута, она даст соотношение больше единицы, что неверно. Зная, что общее сопротивление в последовательной цепи (делитель) всегда больше любого из сопротивлений, понимаем, что дробь для этой формулы должна быть \( \frac{R_n}{R_{\text{Total}}} \). И наоборот, зная, что общее сопротивление в параллельной (делитель тока) всегда меньше любого из сопротивлений, понимаем, что дробь в формуле делителя тока должна быть \( \frac{R_{\text{Total}}}{R_n} \).

Применение схемы делителя тока

Схемы эти широко используются в электросчетчиках, где необходимо направить часть измеряемого тока через чувствительные устройства обнаружения. Используя формулу делителя электротока, можно выбрать шунтирующий резистор, чтобы пропорционально распределить требуемое количество ампер для устройства в конкретной задаче.

Закон токов Кирхгофа

Давайте более подробно рассмотрим пример параллельной схемы, чтобы понять, как работает данный Закон.

Решим для всех значений напряжения и тока в этой схеме:

	R1	R2	R3	Всего
E	6	6	6	6 Вольт
I	6 мА	2 мА	3 мА	11 мА
R	1 кОм	3 кОм	3 кОм	545 Ом

Мы уже знаем значение тока в каждой ветви и общее в цепи. В параллельных цепях общий ампераж всегда равен сумме в ветвях. Рассмотрим токи в каждой точке соединения проводов (узле).

В каждом узле на отрицательной линии (провод 8-7-6-5) ток разделяется, направляясь в каждый последующий резистор ветви. В каждом узле на положительной (провод 1-2-3-4) объединяется, чтобы сформировать общий поток от каждого резистора ветви. Это можно проиллюстрировать аналогией с водопроводной системой, где каждый узел (тройник) разделяет или объединяет поток воды. Поток воды разделяется или соединяется в зависимости от того, куда он движется, как это происходит с током в электрической схеме.

Если внимательно рассмотреть один конкретный узел «тройник», например точку 3, то можно увидеть, что ток, входящий в узел, будет равен по величине, выходящему из него:

Эта закономерность похожа на работу фитинга в сантехнике: поток воды, входящий в фитинг, обязательно выйдет из него, если нет утечек. Это справедливо для любого узла, независимо от того, сколько потоков входит или выходит.

Математически это можно выразить следующим образом:

$$
I_{\text{вход}} = I_{\text{выход}}
$$

Кирхгоф сформулировал это в виде Закона токов Кирхгофа, который звучит следующим образом:

⚖ Алгебраическая сумма всех токов, входящих и выходящих из узла, должна равняться нулю.

Значит если каждому току присвоить знак (положительный для входящих и отрицательный для выходящих), то сумма их будет равна нулю. Это гарантирует, что не теряется ни один заряд.

В примере с узлом 3, используя Закон Кирхгофа, можем вычислить величину тока, выходящего из узла, если у нас есть токи, входящие в узел. Например, если 2 мА и 3 мА входят в узел, то для электротока, выходящего из узла, Iвыхода = 2 мА + 3 мА = 5 мА. При этом отрицательный знак у тока 5 мА говорит, что он выходит из узла, в отличие от 2 мА и 3 мА, которые входят в узел.

Закон токов Кирхгофа работает для любого узла в цепи, независимо от того, сколько токов в нем участвуют. Главное — это последовательность знаков для входящих и выходящих электротоков.

Выводы и литература

Закон токов Кирхгофа в сочетании с законом напряжений образуют мощный инструмент для анализа электросхем. Их применение особенно важно при более сложном анализе электрических сетей, когда необходимо учитывать множественные узлы и ветви. Это фундаментальные инструменты, которые электронщик должен знать так же чётко, как и закон Ома!

1. А. В. Суворов — Основы теории электрических цепей.
2. В. А. Ильин, Е. Г. Позняк — Основы электротехники.
3. М. Е. Волькенштейн — Электричество.
4. П. А. Кашкаров — Электроника для начинающих.
5. А. А. Власов — Электротехника и основы электроники.